Номер / задача 613 страница 158, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Для решения нам нужно для равнобедренного треугольника:

1. Построить серединные перпендикуляры сторон и найти центр описанной окружности.
2. Построить биссектрисы углов и найти центр вписанной окружности.
3. Построить описанную и вписанную окружности.

Построим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC и выполним все три задания.

Задание 1. Проведём серединные перпендикуляры сторон AB, BC и AC. По следствию 2 теоремы 22.1 они пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. Радиус описанной окружности .

Задание 2. Проведём биссектрисы углов A, B и C. По следствию 2 теоремы 22.2 они пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности. Радиус вписанной окружности r равен расстоянию от до любой стороны треугольника.

Задание 3. Построим описанную окружность с центром и радиусом R, а также вписанную окружность с центром и радиусом r.

Замечание. В равнобедренном треугольнике серединный перпендикуляр основания BC совпадает с биссектрисой угла A и является осью симметрии треугольника. Поэтому оба центра и лежат на этой оси симметрии.

Как видно из построения, в равнобедренном треугольнике оба центра — (описанной окружности) и (вписанной окружности) — лежат на оси симметрии треугольника, то есть на серединном перпендикуляре основания BC, который одновременно является биссектрисой угла A и медианой из вершины A.