Номер / задача 607 страница 154, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BM$, из точки $M$ на сторону $BC$ опущен перпендикуляр $MK$, $\angle ABM = \angle KMC$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
Доказательство
На рисунке изображён остроугольный треугольник ABC, BM — биссектриса угла B, MK ⊥ BC, причём ∠ ABM = ∠ KMC.
Обозначим ∠ ABM = ∠ MBC = β (так как BM — биссектриса угла B).
По условию ∠ KMC = β.
Рассмотрим треугольник MKC. В нём ∠ MKC = 90° (так как MK ⊥ BC), поэтому:
Рассмотрим треугольник BMK. В нём ∠ MKB = 90°, ∠ MBK = β, поэтому:
Таким образом, ∠ BMK = 90° - β и ∠ KMC = β, откуда:
Теперь рассмотрим треугольник BMC. В нём ∠ MBC = β и ∠ BMC = 90°, поэтому:
Значит, ∠ ACB = ∠ BCM = 90° - β.
Рассмотрим треугольник ABC. Сумма его углов:
Подставим ∠ ABC = 2β и ∠ ACB = 90° - β:
Следовательно, ∠ BAC = ∠ ACB = 90° - β.
Поскольку в треугольнике ABC углы при вершинах A и C равны, треугольник ABC равнобедренный: AB = BC. ◄
