Номер / задача 605 страница 153, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Отрезки $AB$ и $CD$ лежат на одной прямой и имеют общую середину. Точку $M$ выбрали так, что треугольник $AMB$ равнобедренный с основанием $AB$. Докажите, что $\triangle CMD$ также является равнобедренным с основанием $CD$.
Доказательство
Пусть точка O — общая середина отрезков AB и CD (рис.). Тогда OA = OB и OC = OD.
Так как треугольник AMB равнобедренный с основанием AB, то MA = MB.
В равнобедренном треугольнике AMB (MA = MB) точка O — середина основания AB, следовательно, MO — медиана, а значит, и высота, т. е. MO ⊥ AB.
Поскольку отрезки AB и CD лежат на одной прямой, то MO ⊥ CD.
Рассмотрим треугольник CMD. Точка O — середина отрезка CD, и MO ⊥ CD. Значит, MO — медиана и высота треугольника CMD.
В треугольнике CMD медиана MO, проведённая к стороне CD, является одновременно высотой. Следовательно, треугольник CMD равнобедренный, причём MC = MD, т. е. основанием является сторона CD. ◄
