Номер / задача 604 страница 153, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Докажите, что середина $M$ отрезка, концы которого принадлежат двум параллельным прямым, является серединой любого отрезка, который проходит через точку $M$ и концы которого принадлежат этим прямым.

Доказательство

Пусть даны две параллельные прямые a и b. Отрезок AB таков, что A ∈ a, B ∈ b, и M — середина AB. Пусть CD — произвольный отрезок, проходящий через точку M, такой что C ∈ a, D ∈ b (рис.). Надо доказать, что CM = MD.

Рассмотрим треугольники AMC и BMD.

Так как a ∥ b, прямая AB является секущей для параллельных прямых a и b. Значит:

как накрест лежащие углы при параллельных прямых a и b и секущей AB.

Аналогично, прямая CD — тоже секущая для тех же параллельных прямых, поэтому:

как накрест лежащие углы при параллельных прямых a и b и секущей CD.

По условию AM = MB.

Следовательно, треугольники AMC и BMD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (AM = MB, ∠ MAC = ∠ MBD, ∠ MCA = ∠ MDB).

Отсюда CM = MD, т. е. точка M является серединой отрезка CD.

Номер 604