Номер / задача 603 страница 153, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Через точку $C$ проведены касательные $AC$ и $BC$ к окружности, $A$ и $B$ — точки касания (рис. 340). На окружности взяли произвольную точку $M$, лежащую в одной полуплоскости с точкой $C$ относительно прямой $AB$, и через неё провели касательную к окружности, пересекающую прямые $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Докажите, что периметр треугольника $DEC$ не зависит от выбора точки $M$. Рис. 340: окружность с центром $M$; точки $A$ и $B$ — точки касания на окружности; точка $C$ — внешняя точка, из которой проведены касательные $CA$ и $CB$; касательная в точке $M$ пересекает прямые $CA$ и $CB$ в точках $D$ и $E$ соответственно; точка $B$ и точка $E$ расположены близко друг к другу внизу окружности.

Решение. Пусть окружность имеет центр O. Прямые CA и CB — касательные к окружности, A и B — точки касания. Прямая DE — касательная к окружности в точке M, пересекающая CA в точке D и CB в точке E.

Надо доказать, что периметр треугольника DEC не зависит от выбора точки M.

Из точки D проведены две касательные к окружности: DA (часть касательной CA) и DM (часть касательной DE). По доказанной в параграфе задаче (об отрезках касательных из одной точки) получаем:

Аналогично, из точки E проведены две касательные к окружности: EB и EM. Следовательно:

Найдём периметр треугольника DEC:

Заметим, что DE = DM + ME. Тогда:

Поскольку DM = DA и ME = EB, получаем:

Так как CA и CB — отрезки касательных, проведённых из точки C к окружности, то по той же задаче CA = CB. Значит:

Эта величина не зависит от выбора точки M. ◄

Номер 603