Номер / задача 602 страница 153, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Окружность касается стороны $AB$ треугольника $ABC$ в точке $M$ и касается продолжения двух других сторон. Докажите, что сумма длин отрезков $BC$ и $BM$ равна половине периметра треугольника $ABC$.

Доказательство

На рисунке изображён треугольник ABC. Окружность касается стороны AB в точке M и касается продолжений сторон AC и BC за точки C — обозначим точки касания P и Q соответственно.

Из задачи параграфа (рис. 335) известно, что отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Применим это свойство к каждой вершине треугольника.

Из точки B проведены две касательные к окружности: одна касается в точке M (на стороне AB), другая — в точке Q (на продолжении стороны BC). Следовательно,

Из точки A проведены две касательные: одна касается в точке M (на стороне AB), другая — в точке P (на продолжении стороны AC). Следовательно,

Из точки C проведены две касательные: одна касается в точке Q (на продолжении стороны BC), другая — в точке P (на продолжении стороны AC). Следовательно,

Найдём полупериметр треугольника ABC:

Заметим, что BQ = BC + CQ, а AP = AC + CP. Тогда:

Поскольку AM = AP = AC + CP и CQ = CP, подставим:

Это не самый удобный путь. Поступим иначе. Выразим периметр через BM:

Так как AM = AP = AC + CP и CP = CQ, то:

Также BQ = BM, а BQ = BC + CQ, откуда CQ = BM - BC. Подставим:

Тогда периметр:

Нет, проверим аккуратнее. Из BM = BQ = BC + CQ следует CQ = BM - BC. Из AM = AP = AC + CP = AC + CQ = AC + BM - BC. При этом AB = AM + BM. Проверим:

Отсюда:

Теперь вычислим BC + BM:

Это не равно полупериметру. Пересмотрим условие: окружность касается продолжений сторон AC и BC за точку C, значит это вневписанная окружность, касающаяся стороны AB и продолжений двух других сторон за вершину C.

Тогда BQ = BC + CQ и AP = AC + CP, и всё верно. Периметр:

Подставим AM = AP = AC + CP, CP = CQ, BM = BQ = BC + CQ, откуда CQ = BM - BC:

Значит, p = AC + BM... Но нужно доказать, что BC + BM = p.

Пересмотрим: окружность касается стороны AB в точке M и продолжений сторон CA и CB. Точка касания на продолжении CA — это P, на продолжении CB — это Q. Тогда AP = AC + CP неверно — P лежит на продолжении CA за точку A. Тогда AP = AC + CP нет: CP = CA + AP.

Итак, CP = CA + AP и CQ = CB + BQ. Из точки A: AM = AP. Из точки B: BM = BQ. Из точки C: CP = CQ, т.е. CA + AP = CB + BQ, CA + AM = CB + BM.

Периметр: 2p = AB + BC + CA = (AM + BM) + BC + CA. Так как CQ = CB + BM и CP = CA + AM и CP = CQ:

Что и требовалось доказать. ◄

Номер 602