Номер / задача 600 страница 153, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть дана прямая a. Найдём геометрическое место точек, которые могут быть центрами окружностей, касающихся прямой a.

Пусть окружность с центром O и радиусом r касается прямой a в точке A. По свойству касательной (теорема 21.3) радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, т. е. OA ⊥ a.

Значит, центр O любой окружности, касающейся прямой a, лежит на перпендикуляре к прямой a, проведённом через точку касания. При этом O не может лежать на самой прямой a (иначе r = 0). Следовательно, центр O — это любая точка, не принадлежащая прямой a.

Обратно, пусть точка O не принадлежит прямой a. Опустим перпендикуляр OM на прямую a. Тогда OM > 0. Построим окружность с центром O и радиусом r = OM. Расстояние от центра этой окружности до прямой a равно радиусу, следовательно, по следствию из теоремы 21.4 прямая a является касательной к данной окружности.

Таким образом, геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой, — это вся плоскость без самой этой прямой, то есть множество всех точек, не лежащих на данной прямой. Эквивалентно, это объединение двух открытых полуплоскостей, на которые данная прямая делит плоскость.

Ответ: геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой, — это две полуплоскости, на которые эта прямая делит плоскость (т. е. множество всех точек плоскости, не лежащих на данной прямой).