Номер / задача 599 страница 153, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Задача. Докажите, что геометрическое место центров окружностей, касающихся обеих сторон данного угла, — это биссектриса этого угла.

Решение. Пусть дан угол с вершиной A и сторонами a и b (рис.).

Пусть окружность с центром O касается стороны a в точке B и стороны b в точке C. Надо доказать, что точка O лежит на биссектрисе угла BAC.

По свойству касательной (теорема 21.3) радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

Значит, OB — расстояние от точки O до прямой a, а OC — расстояние от точки O до прямой b. Поскольку OB и OC — радиусы одной окружности, то OB = OC.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и AOC. В них:

• OB = OC (радиусы),
• AO — общая гипотенуза.

Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету. Отсюда ∠ OAB = ∠ OAC, то есть луч AO — биссектриса угла BAC.

Таким образом, центр любой окружности, касающейся обеих сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла.

Обратно, пусть точка O лежит на биссектрисе угла BAC. Опустим перпендикуляры OB и OC на стороны a и b соответственно. Прямоугольные треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и острому углу (AO — общая, ∠ OAB = ∠ OAC). Значит, OB = OC = r. Окружность с центром O и радиусом r касается обеих сторон угла (по признаку касательной — теорема 21.4, так как OB ⊥ a и OC ⊥ b).

Ответ: геометрическое место центров окружностей, касающихся обеих сторон данного угла, — это биссектриса этого угла.