Номер / задача 598 страница 153, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть дана прямая a и точка A на этой прямой. Докажем, что геометрическое место центров окружностей, касающихся прямой a в точке A, — это прямая, проходящая через точку A перпендикулярно прямой a.

Проведём через точку A прямую p, перпендикулярную прямой a. Докажем, что центр любой окружности, касающейся прямой a в точке A, лежит на прямой p, и обратно.

1. Пусть окружность с центром O касается прямой a в точке A. Тогда OA — радиус, проведённый в точку касания. По свойству касательной (теорема 21.3) касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, т. е. OA ⊥ a. Значит, точка O лежит на прямой, проходящей через A перпендикулярно a, то есть на прямой p.

2. Обратно, пусть точка O лежит на прямой p, O ≠ A. Проведём окружность с центром O и радиусом OA. Так как O лежит на перпендикуляре к прямой a в точке A, то OA ⊥ a. По признаку касательной (теорема 21.4), если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она является касательной. Следовательно, прямая a — касательная к этой окружности в точке A.

Ответ: геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой в данной точке, — это прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно данной прямой (без самой данной точки).