Номер / задача 597 страница 153, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство

Пусть дана окружность с центром O, диаметр AB делит хорду CD в точке M пополам, т. е. CM = MD, но AB не перпендикулярен CD.

Докажем, что CD — диаметр, т. е. CD проходит через центр O.

Проведём радиусы OC и OD. Поскольку CM = MD, точка M — середина хорды CD. Рассмотрим треугольник COD: он равнобедренный, так как OC = OD (радиусы). Отрезок OM соединяет вершину O с серединой основания CD, значит, OM — медиана равнобедренного треугольника COD, проведённая к основанию. Следовательно, OM является и высотой, т. е. OM ⊥ CD.

Если бы точка M не совпадала с O, то прямая OM лежала бы на диаметре AB (поскольку M — точка пересечения хорды CD с диаметром AB, а O также лежит на AB). Тогда AB ⊥ CD, что противоречит условию.

Значит, M = O, т. е. середина хорды CD совпадает с центром окружности. Следовательно, хорда CD проходит через центр и является диаметром.