Номер / задача 596 страница 152, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Задача, по-видимому, звучит так: отрезки AB и BC — соответственно хорда и диаметр окружности, ∠ ABC = 30°. Через точку A проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра BC в точке D. Найти ∠ ADC (или доказать, что AD = AB, или найти отношение отрезков — восстановим наиболее классическую формулировку: найти угол ∠ ADB или найти ∠ ADC).

Наиболее стандартная формулировка для этой конфигурации: Найти ∠ ADC.

Решение

Пусть O — центр окружности, BC — диаметр, AB — хорда, ∠ ABC = 30°. Прямая DA — касательная к окружности в точке A, D — точка пересечения этой касательной с продолжением BC.

Проведём радиус OA в точку касания. По свойству касательной OA ⊥ DA, т.е. ∠ OAD = 90°.

Рассмотрим треугольник OAB. Так как OA = OB = r (радиусы), треугольник OAB — равнобедренный. Значит:

Тогда в треугольнике DAB:

Теперь рассмотрим треугольник DAB. Точка D лежит на продолжении BC, поэтому ∠ DBA — смежный с ∠ ABC:

Сумма углов треугольника DAB:

Получаем противоречие — значит, D лежит не на продолжении BC за точку B, а на продолжении за точку C.

Тогда ∠ DBA = ∠ ABC = 30° (вертикальные? нет). Пересмотрим: D лежит на продолжении BC за точку C (по рисунку A в верхней полуплоскости, касательная в A пересекает прямую BC левее C).

В треугольнике OAD: ∠ OAD = 90°, OA = r. Найдём ∠ AOD.

В треугольнике OAB: ∠ OBA = 30°, OA = OB, значит ∠ AOB = 180° - 2 · 30° = 120°.

Так как D лежит на луче CO (на продолжении BC), угол ∠ AOD = 180° - ∠ AOB = 180° - 120° = 60°.

В прямоугольном треугольнике OAD: