Номер / задача 594 страница 152, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Через точку $C$ окружности с центром $O$ провели касательную к этой окружности, отрезок $AB$ — диаметр окружности. Из точки $A$ на касательную опущен перпендикуляр $AD$. Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.

Доказательство

На рисунке изображена окружность с центром O, AB — диаметр, через точку C окружности проведена касательная, AD ⊥ касательной.

Надо доказать, что луч AC — биссектриса угла BAD, т. е. ∠ BAC = ∠ CAD.

Проведём радиус OC. По свойству касательной (теорема 21.3) OC ⊥ касательной, т. е. ∠ OCD = 90°.

Поскольку AD ⊥ касательной, имеем ∠ ADC = 90°.

Рассмотрим треугольник ACD. В нём ∠ ADC = 90°, поэтому:

Так как ∠ OCD = 90°, а точка D лежит на касательной по ту же сторону от C, что и проекция, то:

Значит:

Теперь рассмотрим треугольник AOC. Отрезки OA и OC — радиусы окружности, поэтому OA = OC и треугольник AOC — равнобедренный. Следовательно:

Но O лежит на отрезке AB (так как AB — диаметр), поэтому ∠ OAC = ∠ BAC.

Таким образом:

Следовательно, луч AC — биссектриса угла BAD.

Номер 594