Номер / задача 588 страница 152, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: В окружности с центром $O$ через середину радиуса провели хорду $AB$, перпендикулярную ему. Докажите, что $\angle AOB = 120°$.
Решение. Пусть дана окружность с центром O и радиусом r. Пусть M — середина некоторого радиуса OD, и хорда AB проходит через точку M перпендикулярно этому радиусу, т. е. OD ⊥ AB. Надо доказать, что ∠ AOB = 120°.
Так как диаметр, содержащий радиус OD, перпендикулярен хорде AB, то по теореме 21.1 он делит хорду пополам: AM = MB.
Проведём радиусы OA и OB. Поскольку M — середина радиуса OD, имеем:
Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA (∠ OMA = 90°):
- гипотенуза OA = r (радиус),
- катет
.
Тогда:
Следовательно, ∠ AOM = 60°.
Аналогично, из прямоугольного треугольника OMB получаем ∠ BOM = 60°.
Поскольку точки A и B лежат по разные стороны от прямой OD, то:
Что и требовалось доказать. 
