Номер / задача 585 страница 152, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Задача. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Доказательство

Пусть дана окружность с центром O и радиусом r. Хорды AB и CD равноудалены от центра, т. е. OM = ON, где OM ⊥ AB, ON ⊥ CD, M и N — основания перпендикуляров (рис.).

Проведём радиусы OA, OB, OC, OD.

По теореме 21.1 диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Перпендикуляр из центра к хорде лежит на диаметре, перпендикулярном этой хорде, поэтому:

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ONC:

Так как OM = ON (хорды равноудалены от центра), получаем:

Тогда:

Следовательно, хорды AB и CD равны.