Номер / задача 584 страница 152, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Задача. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Доказательство

Пусть дана окружность с центром O и две равные хорды AB и CD, т. е. AB = CD. Надо доказать, что расстояния от центра O до этих хорд равны.

Проведём из центра O перпендикуляры OM и ON на хорды AB и CD соответственно (M — основание перпендикуляра на AB, N — основание перпендикуляра на CD). Расстояния от центра до хорд — это длины отрезков OM и ON.

По теореме 21.1 диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Перпендикуляр из центра окружности на хорду лежит на диаметре, перпендикулярном этой хорде. Следовательно:

Так как AB = CD, то AM = CN.

Проведём радиусы OA и OC. Рассмотрим прямоугольные треугольники OMA и ONC:

• OA = OC как радиусы одной окружности,
• AM = CN (доказано выше),
• ∠ OMA = ∠ ONC = 90°.

Следовательно, треугольники OMA и ONC равны по гипотенузе и катету. Отсюда OM = ON.

Таким образом, равные хорды окружности равноудалены от её центра.