Номер / задача 583 страница 152, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90°$. Докажите, что: 1) прямая $BC$ является касательной к окружности с центром $A$, проходящей через точку $C$; 2) прямая $AB$ не является касательной к окружности с центром $C$, проходящей через точку $A$.

1) Докажем, что прямая BC является касательной к окружности с центром A, проходящей через точку C.

Окружность с центром A проходит через точку C, значит AC — радиус этой окружности. Точка C принадлежит прямой BC.

По условию ∠ C = 90°, т. е. BC ⊥ AC. Таким образом, прямая BC проходит через точку C окружности и перпендикулярна радиусу AC, проведённому в эту точку.

По признаку касательной (теорема 21.4) прямая BC является касательной к данной окружности. ◄

2) Докажем, что прямая AB не является касательной к окружности с центром C, проходящей через точку A.

Окружность с центром C проходит через точку A, значит CA — радиус этой окружности.

Предположим, что прямая AB является касательной к этой окружности. Тогда точка A — точка касания, и по свойству касательной (теорема 21.3) CA ⊥ AB, т. е. ∠ A = 90°.

Но тогда в треугольнике ABC имеем ∠ C = 90° и ∠ A = 90°, что даёт сумму углов не менее 180° уже по двум углам. Получаем противоречие, так как сумма углов треугольника равна 180° и третий угол ∠ B должен быть больше 0°.

Следовательно, прямая AB не является касательной к окружности с центром C, проходящей через точку A. ◄

Номер 583