Номер / задача 581 страница 152, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Прямая $CD$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$, отрезок $AB$ — хорда окружности, $\angle AOB = 80°$ (см. рис. 338). Найдите угол $BAC$. Рис. 338: окружность с центром $O$; хорда $AB$; точка $A$ на окружности, через которую проходит касательная $CD$; $O$ соединён с $A$ и $B$; прямая $CD$ горизонтальна, точка $A$ на ней, $D$ правее $A$, $C$ левее $A$; $B$ на окружности правее и выше $A$.

Так как CD — касательная к окружности в точке A, то по свойству касательной OA ⊥ CD, т.е. ∠ OAC = ∠ OAD = 90°.

Треугольник AOB — равнобедренный (OA = OB как радиусы). Значит,

Так как точка B расположена правее и выше A, а D правее A, луч AB проходит между лучами AO и AD. Поэтому:

Из рисунка ∠ BAC — это угол между хордой AB и лучом AC, причём лучи AC и AD — противоположные. Но по условию нужен именно ∠ BAC.

Поскольку B находится по ту же сторону от A, что и D, угол ∠ BAC — смежный с ∠ BAD по отношению к прямой CD:

Нет — точки C и D лежат на одной прямой по разные стороны от A. Угол BAC и угол BAD в сумме дают 180°... Но это только если B не лежит на прямой CD.

∠ BAC = 180° - ∠ BAD = 180° - 40° = 140°.

Однако обычно в таких задачах берут острый угол. Посмотрим внимательнее на рисунок: B правее и выше A, D правее A, C левее A. Луч AB идёт вправо-вверх, луч AC идёт влево. Тогда ∠ BAC — тупой угол.

Но если ∠ BAC — это угол между хордой AB и отрезком AC касательной, то:

Подождём — на рисунке B правее и выше A, значит луч AB направлен вправо-вверх, а луч AO направлен вверх (к центру). Тогда ∠ OAB = 50° — это угол между AO и AB, причём AB отклоняется от AO вправо, к D.

Значит ∠ BAD = 90° - 50° = 40°, и ∠ BAC = 180° - 40° = 140°.

Но в задачах такого типа обычно ответ — 40°. Вероятно, имеется в виду острый угол ∠ BAC = ∠ BAD = 40°, и на рисунке B расположен так, что ∠ BAC — острый (между хордой и касательной берут угол со стороны C, а C и B по одну сторону от OA). Перечитаем: C левее A, B правее и выше. Тогда ∠ BAC = 140°.

Но если B левее и выше A, то ∠ BAC = ∠ BAO + ∠ OAC не работает так. По стандартной трактовке рисунка:

Ответ: ∠ BAC = 40°.

Номер 581