Номер / задача 579 страница 151, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Прямая $AB$ касается окружности с центром $O$ в точке $C$ (рис. 337). Найдите: 1) угол $OCD$, если $\angle BCD = 28°$; 2) угол $ACD$, если $\angle OCD = 55°$. Рис. 337: окружность с центром $O$; прямая $AB$ касается окружности в точке $C$; из центра $O$ проведён отрезок $OD$, где $D$ — точка на окружности; точка $A$ справа вверху, $B$ внизу, $D$ слева внизу.

По свойству касательной OC ⊥ AB, значит ∠ OCA = ∠ OCB = 90°.

1) Точка D лежит по ту же сторону от OC, что и B, поэтому:

2) Точка D лежит по ту же сторону от OC, что и A... Нет — посмотрим на рисунок: D слева внизу, B внизу, значит D и B по одну сторону от OC. Тогда:

Но ∠ OCD = 55° и D находится по ту сторону от OC, что и B, поэтому:

Однако если D лежит между лучами OC и CB (т.е. ∠ OCD < 90°, что выполняется при ∠ OCD = 55°), то:

Но ∠ ACO = 90° и D по ту же сторону от прямой OC, что и B, а A — по другую сторону. Значит:

Рассужду аккуратнее. Прямая AB — это прямая, OC ⊥ AB. Луч CD идёт от точки C куда-то в сторону D.

Поскольку D и B по одну сторону от линии OC:

Это согласуется с пунктом 1): 28° = 90° - ∠ OCD, ∠ OCD = 62°. ✓

Для пункта 2):

Но это угол, измеренный «через сторону A», и он больше 180°... Нет, ∠ ACO = 90°, и луч CD отклоняется от CO в сторону B на 55°, значит от луча CA он отклоняется на 90° + 55° = 145°. Это допустимый угол (меньше 180°).

Но можно рассуждать проще: A, C, B лежат на одной прямой, поэтому

Оба способа дают одно и то же.

Ответ:

∠ OCD = 62°
∠ ACD = 145°

Номер 579