Номер / задача 577 страница 151, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: На рисунке 336 точка $O$ — центр окружности, диаметр $CD$ перпендикулярен хорде $AB$. Докажите, что $\angle AOD = \angle BOD$.
Рис. 336: окружность с центром $O$; хорда $AB$ горизонтальная, диаметр $CD$ вертикальный, перпендикулярен $AB$; точки $A$ и $B$ на окружности по горизонтали, точки $C$ (вверху) и $D$ (внизу) на окружности по вертикали; $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ — радиусы.
Доказательство
На рисунке 336 изображена окружность с центром O, диаметр CD перпендикулярен хорде AB. Пусть M — точка пересечения CD и AB. Надо доказать, что ∠ AOD = ∠ BOD.
Проведём радиусы OA и OB. По теореме 21.1 диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам, поэтому AM = MB.
Рассмотрим треугольники AOM и BOM:
- AM = MB (доказано выше);
- OM — общая сторона;
- ∠ OMA = ∠ OMB = 90° (так как CD ⊥ AB).
Следовательно, △ AOM = △ BOM по двум катетам.
Из равенства треугольников следует, что OA = OB (что и так верно, так как это радиусы) и ∠ AOM = ∠ BOM.
Поскольку точка M лежит на отрезке OD (между O и D), имеем:
Так как ∠ AOM = ∠ BOM, то ∠ AOD = ∠ BOD. ◄
