Номер / задача 576 страница 151, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение

Проведём прямую a и отметим на ней точку M.

По признаку касательной (теорема 21.4), если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она является касательной. Значит, чтобы окружность касалась прямой a в точке M, необходимо, чтобы радиус, проведённый в точку M, был перпендикулярен прямой a.

Построение:

1. С помощью угольника проведём через точку M прямую p, перпендикулярную прямой a.

2. На прямой p по обе стороны от прямой a с помощью циркуля отложим от точки M отрезки длиной 3 см. Получим точки и — центры искомых окружностей.

3. Проведём окружность с центром радиуса 3 см и окружность с центром радиуса 3 см.

Докажем, что построенные окружности касаются прямой a в точке M.

Центр (или ) лежит на перпендикуляре к прямой a, проведённом через точку M, и см — радиус окружности. Значит, , и по теореме 21.4 прямая a является касательной к окружности с центром в точке M. Аналогично для .

Других таких окружностей нет: центр должен лежать на перпендикуляре к a в точке M (по свойству касательной, теорема 21.3) на расстоянии 3 см от M, а таких точек ровно две — по разные стороны от прямой a.

Таких окружностей можно провести 2.

Ответ: таких окружностей можно провести 2 — их центры расположены на перпендикуляре к прямой a в точке M по разные стороны от неё на расстоянии 3 см.