Номер / задача 568 страница 147, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство.

Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, значит AB = CB и ∠ BAC = ∠ BCA.

Пусть ∠ BAC = ∠ BCA = α. Тогда ∠ ABC = 180° - 2α.

Так как AD — биссектриса угла A, то .

Так как CE — биссектриса угла C, то .

Рассмотрим треугольник ABD. Так как D лежит на стороне BC, в треугольнике ABD:

Рассмотрим треугольник ADE. Точка E лежит на стороне AB, точка D лежит на стороне BC. В треугольнике ADE:

Угол ADE является смежным с углом ADB:

Тогда:

Итак, в треугольнике ADE:

Проверим: в треугольнике AEC (где CE — биссектриса угла C, а E лежит на AB):

Вернёмся к треугольнику ADE. Имеем и ∠ AED = α, значит ∠ AED = 2∠ DAE.

Однако нам нужно сравнить стороны. Заметим, что:

Рассмотрим треугольник EDC. Точка D лежит на BC, точка E лежит на AB, секущая ED.

В треугольнике EDC:

Теперь рассмотрим треугольник ADE:

А в треугольнике EDC:

Вернёмся к треугольнику ADE. Поскольку , это пока не даёт равнобедренность напрямую.

Рассмотрим треугольник CED. В нём и , ∠ DEC = 180° - 2α.

Рассмотрим треугольник AEC: ∠ EAC = α, , .

Теперь в треугольнике ABD: , ∠ ABD = 180° - 2α, .

Заметим, что в треугольнике ABD углы и ∠ ABD = 180° - 2α, а в треугольнике BCE: , ∠ CBE = 180° - 2α, значит треугольники ABD и CBE равны по стороне и двум прилежащим углам (AB = CB, , ∠ ABD = ∠ CBE = 180° - 2α). Отсюда AD = CE и BD = BE.

Так как BD = BE и ∠ ABD = 180° - 2α, в треугольнике BDE: BD = BE, значит треугольник BDE равнобедренный, .

Тогда ... Пересчитаем: ∠ BDE = α, а ∠ BDA = 180° - ∠ BDE... Нет, D лежит на BC, поэтому ∠ ADB и ∠ ADE — это разные углы.

Вернёмся проще. В треугольнике ADE:

Нужно показать, что AE = ED.

В треугольнике ADE стороне AE противолежит угол ∠ ADE, а стороне ED противолежит угол .

Чтобы AE = ED, нужно ∠ ADE = ∠ DAE, то есть .

Но мы получили , значит нужно , т.е. α = 90°... Это неверно в общем случае.

Пересчитаю ∠ AED. Точка E лежит на AB, точка D лежит на BC. В треугольнике BDE: BD = BE (доказано), ∠ DBE = ∠ ABC = 180° - 2α, значит:

Угол ∠ AED смежный с ∠ BED (так как E лежит на AB):

Тогда в треугольнике ADE:

Итак, .

Следовательно, треугольник ADE равнобедренный, и AE = ED.