Номер / задача 566 страница 147, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Проведём серединный перпендикуляр p отрезка AB. По теореме 20.1 серединный перпендикуляр отрезка является ГМТ, равноудалённых от концов этого отрезка.

Серединный перпендикуляр p делит плоскость на две полуплоскости: одна содержит точку B, другая — точку A.

Прямая теорема. Докажем, что если точка X лежит в полуплоскости, содержащей точку B (не на самой прямой p), то AX > BX.

Пусть точка X лежит в полуплоскости, содержащей B. Проведём отрезок AX; он пересечёт серединный перпендикуляр p в некоторой точке Y (поскольку A и X лежат в разных полуплоскостях). Точка Y лежит на серединном перпендикуляре, значит AY = BY. Тогда:

По неравенству треугольника в треугольнике BYX:

Следовательно, AX > BX.

Обратная теорема. Докажем, что если AX > BX, то точка X лежит в полуплоскости, содержащей точку B.

Точка X может лежать либо на прямой p, либо в полуплоскости, содержащей A, либо в полуплоскости, содержащей B.

• Если X лежит на p, то AX = BX, что противоречит условию AX > BX.
• Если X лежит в полуплоскости, содержащей A, то по уже доказанному (поменяв ролями A и B) получим BX > AX, что тоже противоречит условию.

Значит, X лежит в полуплоскости, содержащей точку B.

Ответ. Геометрическое место точек X, таких, что AX > BX, — это полуплоскость, содержащая точку B, граница которой — серединный перпендикуляр отрезка AB (без самой границы).