Номер / задача 564 страница 147, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

ГМТ, удалённых от данной прямой a на расстояние d, — это две прямые, параллельные данной и расположенные по обе стороны от неё на расстоянии d.

Прямая теорема. Каждая точка указанных прямых удалена от прямой a на расстояние d.

Доказательство. Пусть прямые b и c параллельны прямой a и расположены по разные стороны от неё на расстоянии d. Возьмём произвольную точку X на прямой b (или c). Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Расстояние между параллельными прямыми одинаково для любой точки одной из них, и оно равно d. Следовательно, расстояние от точки X до прямой a равно d.

Обратная теорема. Если точка удалена от прямой a на расстояние d, то она принадлежит одной из этих двух прямых.

Доказательство. Пусть точка X удалена от прямой a на расстояние d. Опустим перпендикуляр XH из точки X на прямую a, тогда XH = d. Точка X лежит на перпендикуляре к прямой a в точке H по одну из двух сторон от a. Через точку X проведём прямую, параллельную a. По аксиоме параллельности такая прямая единственна. Поскольку расстояние от X до a равно d, точка X лежит на прямой, параллельной a и находящейся на расстоянии d от неё. Значит, X принадлежит одной из прямых b или c. ◄

Ответ: искомое ГМТ — две прямые, параллельные данной прямой и расположенные по обе стороны от неё на заданном расстоянии d.