Номер / задача 563 страница 147, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

ГМТ, равноудалённых от двух параллельных прямых, — это прямая, параллельная данным прямым и проходящая посередине между ними.

Прямая теорема. Каждая точка прямой, параллельной данным прямым и проходящей посередине между ними, равноудалена от этих прямых.

Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны, расстояние между ними равно d. Проведём прямую m, параллельную a и b, на расстоянии от каждой из них. Возьмём произвольную точку X на прямой m. Опустим перпендикуляры XA и XB на прямые a и b соответственно. Так как m параллельна a и b и расположена посередине между ними, то и . Значит, точка X равноудалена от прямых a и b.

Обратная теорема. Если точка равноудалена от двух параллельных прямых, то она принадлежит прямой, параллельной данным и проходящей посередине между ними.

Доказательство. Пусть точка X равноудалена от параллельных прямых a и b, то есть расстояния от X до a и до b равны. Опустим перпендикуляры XA на прямую a и XB на прямую b. По условию XA = XB.

Прямые a ∥ b, а отрезки XA ⊥ a и XB ⊥ b, значит XA ∥ XB (как перпендикуляры к параллельным прямым). Поскольку они проходят через одну точку X и параллельны, точки A, X, B лежат на одной прямой, перпендикулярной a и b. Тогда AB = XA + XB = d, откуда .

Значит, точка X находится на расстоянии от прямой a, то есть лежит на прямой m, параллельной a и b и проходящей посередине между ними. ◄

Ответ: ГМТ, равноудалённых от двух параллельных прямых, — это прямая, параллельная данным прямым и проходящая на равном расстоянии от каждой из них (посередине между ними).