Номер / задача 562 страница 147, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Пусть AB — общее основание равнобедренных треугольников. Нужно найти ГМТ таких точек C, что CA = CB.

Прямая теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка AB равноудалена от его концов, то есть CA = CB. Значит, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB.

Обратная теорема. Если точка C такова, что CA = CB (то есть C — вершина равнобедренного треугольника с основанием AB), то точка C равноудалена от концов отрезка AB. По теореме 20.1 она принадлежит серединному перпендикуляру отрезка AB.

Следовательно, искомое ГМТ — серединный перпендикуляр отрезка AB (за исключением его точки пересечения с AB, так как вершина треугольника не может лежать на основании).

Ответ: серединный перпендикуляр отрезка AB (без точки пересечения с прямой AB).