Номер / задача 561 страница 146, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Пусть даны две пересекающиеся прямые a и b, пересекающиеся в точке O.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Нужно найти множество всех точек, равноудалённых от прямых a и b.

Прямая теорема. Каждая точка биссектрис углов, образованных прямыми a и b, равноудалена от этих прямых.

Доказательство. Прямые a и b, пересекаясь в точке O, образуют четыре угла. Рассмотрим любой из этих углов. По теореме 20.2 каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, то есть от прямых a и b.

Обратная теорема. Если точка равноудалена от прямых a и b, то она лежит на одной из биссектрис углов, образованных этими прямыми.

Доказательство. Пусть точка X равноудалена от прямых a и b. Тогда точка X принадлежит одному из четырёх углов, образованных прямыми a и b, и равноудалена от сторон этого угла. По обратной теореме 20.2 точка X лежит на биссектрисе этого угла.

Заметим, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому биссектрисы всех четырёх углов образуют две прямые, проходящие через точку O и перпендикулярные друг другу.

Ответ. ГМТ, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых, — это две прямые, являющиеся биссектрисами углов, образованных данными прямыми (т. е. две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через точку пересечения данных прямых).