Номер / задача 560 страница 146, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Пусть даны две точки A и B. Нужно найти геометрическое место точек O таких, что OA = OB (так как O — центр окружности, проходящей через A и B, то OA и OB — радиусы этой окружности).

Значит, нужно найти ГМТ, равноудалённых от точек A и B.

По теореме 20.1 серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

Прямая теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка AB равноудалена от точек A и B, то есть может быть центром окружности, проходящей через A и B.

Обратная теорема. Если точка O является центром окружности, проходящей через A и B, то OA = OB, а значит, точка O равноудалена от концов отрезка AB и по теореме 20.1 принадлежит серединному перпендикуляру отрезка AB.

Ответ: геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки, — это серединный перпендикуляр отрезка, соединяющего эти точки.