Номер / задача 54 страница 22, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

1) Отрезок длиной 8 см

На линейке имеются деления 0, 7 и 11 см. Отложим от некоторой точки A отрезок AB = 11 см. Затем от точки B в сторону точки A отложим отрезок BC = 7 см (приложив деление 11 к точке B, а деление 7 — к точке C, но удобнее рассуждать так: приложим деление 0 к точке B, тогда деление 7 даст точку C на отрезке AB).

Нет, поступим иначе.

Приложим линейку так, чтобы деление 0 совпало с точкой A, тогда деление 11 даёт точку B, и AB = 11 см.

Теперь перевернём задачу: приложим линейку так, чтобы деление 11 совпало с точкой B. Тогда деление 7 окажется на расстоянии 11 - 7 = 4 см от точки B, то есть на расстоянии 11 - 4 = 7 см от точки A. Это не сразу даёт 8 см.

Поступим по-другому.

Проведём прямую и отметим на ней точку A.

Шаг 1. Приложим деление 0 к точке A и отметим точку B на делении 11. Тогда AB = 11 см.

Шаг 2. Теперь приложим деление 7 к точке A, а деление 11 — направим в сторону точки B. Деление 11 окажется на расстоянии 11 - 7 = 4 см от точки A. Отметим эту точку C, тогда AC = 4 см.

Шаг 3. Приложим деление 0 к точке C и отметим точку D на делении 11. Но проще: приложим деление 7 к точке B, а деление 11 направим в сторону от A. Тогда деление 11 окажется на расстоянии 11 - 7 = 4 см от B, то есть на расстоянии 11 + 4 = 15 см от A.

Упростим решение.

1) Построение отрезка длиной 8 см.

Проведём прямую и отметим точку A.

• Приложим деление 0 к точке A, отметим точку B на делении 11: AB = 11 см.
• Приложим деление 0 к точке B (в сторону точки A), отметим точку C на делении 7. Точка C — внутренняя точка отрезка AB, причём BC = 7 см.

По основному свойству длины отрезка: AC = AB - BC = 11 - 7 = 4 см.

• Приложим деление 0 к точке A, отметим точку D на делении 7: AD = 7 см.
• Приложим деление 0 к точке D (в сторону от A), отметим точку E на делении 7. Тогда AE = 7 + 7 = 14 см. Это тоже не 8.

Проще: приложим деление 7 к точке A, а деление 0 — дальше по прямой. Деление 0 окажется на расстоянии 7 см от A. Нет, нужно использовать оба деления одновременно.

Простое решение:

• Отложим AB = 11 см (от 0 до 11).
• От точки B отложим в сторону A отрезок BC = 7 см (приложив 0 к B). Тогда AC = 11 - 7 = 4 см.
• От точки A отложим в противоположную от B сторону отрезок AD = 4 см (используя точки 0 и C как мерку — прикладываем деление 7 к A, деление 11 к D, тогда AD = 11 - 7 = 4 см).
• Тогда DB = DA + AB = 4 + 4 = 8 см. ✓

Ответ: DB = 4 + 4 = 8 см.

2) Построение отрезка длиной 5 см.

• Отложим AB = 7 см (от 0 до 7).
• От точки A отложим в сторону B отрезок AC = 11 см. Тогда точка B — внутренняя точка AC, и BC = AC - AB = 11 - 7 = 4 см.
• От точки C отложим в сторону от A отрезок CD = 4 см (приложив 7 к C, 11 к D). Тогда BD = BC + CD = 4 + 4 = 8 см. Не то.

Иначе: имеем отрезки длиной 7, 11 и 4 = 11 - 7. Тогда 5 = 11 - 7 + (11 - 7) - (11 - 7)… Нет. 5 = 11 - (7 - (11 - 7)) = 11 - 3. Нет. Просто: 5 = 11 - 2 · (11 - 7) = 11 - 8 = 3. Нет.

. Нет, дроби не годятся.

5 = 11 - 7 + (11 - 7) - (11 - 7) + ...

Подумаем: из 7 и 11 можно получить 4 = 11 - 7. Далее: 7 - 4 = 3, 11 - 4 - 4 = 3, 4 + 3 = 7, 4 + 4 = 8, 3 + 3 = 6, 7 + 4 = 11... А 5 = 11 - 3 · (11-7) = 11 - 3· 4. Нет, 11 - 12 < 0.

5 = 2 · 7 - 11 + (11 - 7) = 14 - 11 + 4. Значит 2 · 7 - 11 = 3, а 3 + 4 = 7. Нет.

5 = 3 · 7 - 2 · 11 = 21 - 22 = -1. Нет.

5 = 4 · 7 - 3 · 11 = 28 - 33 = -5. Нет.

5 = 11 · 2 - 7 · 3 + 7 - 11 = 22 - 21 + 7 - 11 = -3. Нет.

Попробуем: какие длины можно построить, откладывая отрезки на прямой?

Имеем шаги 7 и 11 (в обе стороны). Нужно найти целые a, b такие, что 7a + 11b = 5.

7 · 8 + 11 · (-5) = 56 - 55 = 1. Значит 7 · 40 + 11 · (-25) = 5. Слишком много шагов.

Но 7 · 3 + 11 · (-1) = 21 - 11 = 10. Нет. 7 · (-3) + 11 · 2 = -21 + 22 = 1. Тогда × 5: 7·(-15) + 11· 10 = 5. Много.

Проще: 7 + 11 = 18, 18 - 11 = 7, 18 - 7 = 11... На прямой отложим несколько точек:

Пусть точка O — начало. Откладываем вправо по 7: точки на 7, 14, 21, 28... Откладываем вправо по 11: точки на 11, 22, 33...

Разности между этими точками: 14 - 11 = 3, 21 - 22 = -1 → 22 - 21 = 1, 28 - 22 = 6, 28 - 33 = -5 → 33 - 28 = 5. ✓

Итак: 5 = 33 - 28 = 3 · 11 - 4 · 7.

Построение:

• Отметим точку A. Последовательно откладываем от A вправо 4 раза по 7 см: отмечаем точки B, C, D, E, где AE = 28 см.
• От точки A последовательно откладываем вправо 3 раза по 11 см: отмечаем точки F, G, H, где AH = 33 см.
• Точка E находится на расстоянии 28 см от A, точка H — на расстоянии 33 см от A. Точка E — внутренняя точка отрезка AH, поэтому:

Ответ: EH = 5 см.