Номер / задача 534 страница 134, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Дано: Треугольник ABC, AC > BC, биссектриса угла C, через A и B проведены прямые, перпендикулярные этой биссектрисе, пересекающие BC и AC в точках M и K соответственно. CM = 6 см, BK = 2 см, AB = 7 см.

Найти: периметр треугольника ABC.

Решение

Пусть биссектриса угла ACB — прямая CL. Прямая через A, перпендикулярная CL, пересекает прямую BC в точке M. Прямая через B, перпендикулярная CL, пересекает прямую AC в точке K.

Обозначим точку пересечения перпендикуляра из A с биссектрисой как P, а точку пересечения перпендикуляра из B с биссектрисой как Q.

Рассмотрим треугольник CMA:

Прямая AP ⊥ CL (биссектрисе). Поскольку биссектриса делит угол ACB пополам, а AP перпендикулярна биссектрисе, треугольник CPA и треугольник CPM симметричны относительно биссектрисы. Действительно:

• В треугольнике CPM: , ∠ CPM = 90°.
• В треугольнике CPA: , ∠ CPA = 90°.

Значит, треугольники CPA и CPM равны (по стороне CP и двум прилежащим углам), откуда:

Рассмотрим треугольник CKB:

Аналогично, перпендикуляр из B на биссектрису даёт симметрию, и треугольники CQB и CQK равны, откуда:

Найдём CK:

Точка K лежит на AC, причём BK = 2 см. Так как AC > BC, а K лежит на отрезке AC (между A и C или на продолжении). Поскольку CK = CB, точка K лежит на CA.

Из равенства CA = 6 и CK = CB:

Теперь в треугольнике ABK: точка K лежит на отрезке AC, поэтому AK = AC - CK = 6 - CB.

Рассмотрим треугольник ABK. Заметим, что прямая BK перпендикулярна биссектрисе. Но нам проще использовать другой подход.

Поскольку K лежит на AC и CK = CB, а AK = AC - CK = 6 - CB, рассмотрим треугольник ABK.

Так как BK ⊥ биссектрисе угла C, и треугольник BQK симметричен треугольнику BQC относительно биссектрисы, то ∠ BKC = ∠ BCK... Но нам достаточно того, что BK перпендикулярна биссектрисе, и из симметрии KB = ...

Вернёмся к ключевым соотношениям. Из симметрии относительно биссектрисы:

• CA = CM = 6 см
• CB = CK

Точка K лежит на луче CA, поэтому AK = AC - CK = 6 - CB.

В треугольнике ABK заметим, что K лежит на стороне AC, и из симметрии ∠ KBA = ∠ ABC (нет, это не так напрямую). Используем тот факт, что треугольник BKA — это часть треугольника ABC.

Поскольку K на отрезке CA: AK + CK = AC, то есть AK = 6 - CB.

Также из симметрии: треугольник AMP (где AM ⊥ биссектрисе) даёт AM = AM, и MA перпендикулярна биссектрисе. Из симметрии A и M симметричны относительно биссектрисы, значит AB = MB.

Аналогично, B и K симметричны относительно биссектрисы, значит AK = AB... Нет, проверим аккуратнее.

Точнее: A и M симметричны относительно биссектрисы (так как AP ⊥ биссектрисе и CP — общая, CPA = CPM, CA = CM, PA = PM). Тогда любая точка на биссектрисе равноудалена от A и M. Но B не обязательно на биссектрисе.

Однако из симметрии A ↔ M: BA = BM.

Аналогично, из симметрии B ↔ K: AK = AB.

Тогда:

И CK = AC - AK = 6 - 7 = -1 — противоречие! Значит, K лежит не между C и A, а на продолжении CA за точку A.

Тогда CK = CA + AK = 6 + 7 = 13... Это тоже не подходит, так как CB = CK и AC > BC.

Пересмотрим: возможно AK = AB = 7, и K лежит на продолжении CA за A, тогда CK = CA + AK = 13, CB = 13, но AC > BC нарушается (6 > 13 — нет).

Перепроверим, что именно симметрично.

Корректный анализ симметрии:

Симметрия относительно биссектрисы переводит луч CA в луч CB и наоборот.

• Перпендикуляр из A к биссектрисе: A лежит на луче CA. Его образ при симметрии — точка M на луче CB. Значит CM = CA = 6 ✓ и BM = BA = 7... Нет, B не образ A.

A и M симметричны относительно биссектрисы. Значит BA = BM (расстояние от B до A равно расстоянию от B до M... нет, B не лежит на оси симметрии).

Нет, BA ≠ BM в общем случае. Симметрия сохраняет расстояния, но B переходит в некоторую точку K, а не остаётся на месте.

Давайте рассуждать координатно. Пусть биссектриса — ось Ox. Угол ACB = 2φ.

• A лежит на луче CA под углом +φ к биссектрисе: A = (acosφ,  asinφ), где a = CA.
• B лежит на луче CB под углом -φ: B = (bcosφ,  -bsinφ), где b = CB.

Симметрия относительно оси Ox: (x, y) → (x, -y).

Образ A при симметрии: A' = (acosφ, -asinφ). Эта точка лежит на луче CB, и CA' = a. Перпендикуляр из A к биссектрисе — вертикальный отрезок AA', и он пересекает луч CB в точке A' = M.

Значит M = (acosφ, -asinφ), и CM = a = CA. ✓

Аналогично, образ B: B' = (bcosφ, bsinφ). Эта точка лежит на луче CA, CB' = b. Перпендикуляр из B к биссектрисе пересекает луч CA в точке K = B'.

Значит CK = b = CB.

Теперь:

Так как K лежит на луче CA и CK = b < a = 6 (поскольку AC > BC), точка K лежит между C и A.

Вычислим BK:

Вычислим AB:

Также BM:

Итак, BM = a - b. Но BM = CM - CB = a - b (если M дальше от C, чем B, что верно при a > b). ✓

Аналогично, AK = a - b (уже нашли). И:

Также вычислим AM:

Теперь:

Подставим a = 6, AB = 7, BK = 2bsinφ = 2, т.е. bsinφ = 1:

Так как AC > BC, т.е. 6 > b > 0: 6 - b = 5, откуда b = 1. Проверим: b = 1, AC > BC ✓.

(Вариант 6 - b = -5 даёт b = 11, но тогда AC < BC — не подходит.)

Периметр:

Но проверим BK: bsinφ = 1, b = 1, sinφ = 1, φ = 90°, угол C = 180° — вырожденный. Это проблема.

Перепроверим BK. Координаты:

• B = (bcosφ, -bsinφ)
• K = (bcosφ, bsinφ)

BK = 2bsinφ = 2 ✓. При b = 1: sinφ = 1 — вырожденный треугольник.

Попробуем 6 - b = -5, b = 11. Тогда AC = 6 < BC = 11 — противоречит условию.

Значит, я где-то ошибся. Перепроверим, что CM = CA.

Подождём — перечитаю условие: «проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла ACB и пересекающие прямые BC и AC в точках M и K соответственно».

Прямая через A, перпендикулярная биссектрисе, пересекает прямую BC в точке M. Прямая через B, перпендикулярная биссектрисе, пересекает прямую AC в точке K.

Прямая через A перпендикулярна биссектрисе — это вертикальная прямая x = acosφ.

Прямая BC: это луч от C = (0,0) через B = (bcosφ, -bsinφ), параметрически (tbcosφ, -tbsinφ).

Пересечение: tbcosφ = acosφ, t = a/b.

.

CM = a ✓. Всё правильно.

Проблема в том, что при b = 1 получается вырожденный треугольник. Возможно, CM = 6 означает не CA, а что-то другое. Перечитаем: CM = 6 — это расстояние от C до M, а M на прямой BC.

Подождём — может, M на прямой BC, но не на луче CB, а на его продолжении за B? Нет, CM = a = CA = 6, CB = b, и M на луче CB с CM = a > b, значит M за точкой B.

BM = CM - CB = a - b = 6 - b.

Хм, всё верно. Попробуем другую интерпретацию: может, перпендикуляр из A пересекает прямую AC (а не BC)?

Перечитаю: «через вершины A и B проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла ACB и пересекающие прямые BC и AC в точках M и K соответственно».

Это можно прочитать как: прямые пересекают прямые BC и AC в точках M и K. Прямая через A пересекает BC в M, прямая через B пересекает AC в K. Это я и делал.

Тогда, возможно, CM ≠ CA. Перепроверю.

Нет, CM = CA = a — это точно (из координат). Значит a = 6.

Проблема: при b = 1, sinφ = 1, угол C = 2φ = 180° — вырожденный.

А если BK = 2 — это не 2bsinφ? Перепроверю.

B = (bcosφ, -bsinφ), K = (bcosφ, bsinφ).

. ✓

Хм, а может AM дано вместо BM? Или я неправильно прочитал условие?

Условие: CM = 6 см, BK = 2 см, AB = 7 см.

Попробуем: может, CM — это не CA? Нет, из координат CM = a = CA.

Ладно, попробуем: может, перпендикуляр из A пересекает не луч CB, а прямую CB, и M по другую сторону от C? Нет, t = a/b > 0, так что M на том же луче.

Подождём, может я неправильно определил, какая прямая пересекает какую. Может: прямая через A перпендикулярна биссектрисе и пересекает прямую AC в точке... Нет, прямая через A перпендикулярна биссектрисе — она вертикальна, а прямая AC проходит через A под углом, так что пересечение — сама точка A.

Значит, прямая через A пересекает BC в M (не AC, т.к. пересечение с AC — это сама A). Аналогично, прямая через B пересекает AC в K.

Всё правильно. Тогда, возможно, задача имеет решение b = 1, и нужно проверить, существует ли такой треугольник.

При b = 1, sinφ = 1, φ = 90°, ∠ C = 180° — нет, это не треугольник.

Значит, я где-то ошибаюсь. Давайте пересмотрим задачу.

Перечитаю: «пересекающие прямые BC и AC в точках M и K соответственно».

«Соответственно» может означать: прямая через A пересекает BC в M, а прямая через B пересекает AC в K. Или: прямые (через A и B) пересекают прямые (BC и AC) в точках (M и K) соответственно. Т.е. прямая через A → M на BC, прямая через B → K на AC. Это то, что я делал.

Но может быть и так: прямая через A пересекает AC... нет, это бессмысленно.

Или: прямая через A пересекает прямую BC в M и прямую AC в K? Нет, прямая через A перпендикулярна биссектрисе, она пересекает BC в M. А прямая через B пересекает AC в K. Это стандартное прочтение.

Подождём — может, BK — это не отрезок от B до K, а что-то другое? Нет, BK = 2 см — расстояние от B до K.

Давайте вычислим BK по-другому.

B = (bcosφ, -bsinφ), K = (bcosφ, bsinφ).

Стоп! K — это точка на прямой AC, полученная пересечением с перпендикуляром из B. Перпендикуляр из B к биссектрисе — вертикальная прямая x = bcosφ.

Прямая AC: от C(0,0) через A(acosφ, asinφ), параметрически (tacosφ, tasinφ).

Пересечение: tacosφ = bcosφ, t = b/a.

. ✓

CK = b, BK = 2bsinφ. ✓

Всё верно. Тогда:

Нет, давайте аккуратно:

при a = 6:

BK = 2bsinφ = 2, т.е. .

.

Умножим на b:

Попробуем b = 1: 1 - 12 - 13 + 24 = 0 ✓

Но b = 1 даёт sinφ = 1 — вырожденный.

Разделим на (b - 1):

или .

b ≈ 12.87 — но тогда AC = 6 < BC = 12.87, противоречит AC > BC.

b ≈ -1.87 — отрицательное, не подходит.

Единственное подходящее решение b = 1, но оно вырожденное. Что-то не так.

Подождём — может, CM = 6 — это не CA? Может, M лежит на продолжении CB за C?

Если M на продолжении CB за C: параметр t = a/b > 0, значит M на луче CB (от C в сторону B), не за C. Так что M между C и B или за B (в зависимости от a/b). При a > b: t > 1, M за B на луче CB.

Хм, всё правильно.

Может, задача подразумевает другую конфигурацию? Может, перпендикуляры проведены не к самой биссектрисе, а к прямой, содержащей биссектрису, и точки M, K могут быть по другую сторону?

Или, может быть, я неправильно понял: «через вершину A проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе, пересекающая прямую BC в точке M» — а может, прямая через A перпендикулярна биссектрисе и пересекает прямую AC в точке M... Нет, прямая через A перпендикулярна биссектрисе, и она пересекает саму себя (AC) только в точке A.

Ладно, попробуем другой подход. Может, «пересекающие прямые BC и AC» означает, что обе прямые (через A и через B) пересекают обе прямые BC и AC? И M — точка на BC, K — точка на AC, но не обязательно M от прямой через A.

Может: прямая через A ⊥ биссектрисе пересекает AC в K (но это A, не подходит) и BC в M. Прямая через B ⊥ биссектрисе пересекает BC в ... (это B) и AC в K.

Нет, стандартное прочтение: прямая через A → M на BC, прямая через B → K на AC.

Давайте попробуем другую интерпретацию: может, CM и BK — это не то, что я думаю?

CM = 6: C до M на прямой BC. Поскольку CM = CA = 6 и M на луче CB за B (при a > b), то BM = CM - CB = 6 - b.

BK = 2: B до K на прямой AC. K на отрезке CA с CK = b, AK = 6 - b.

BK — расстояние от B до K. Мы вычислили BK = 2bsinφ.

Всё верно. Уравнение имеет единственный положительный корень b < 6: b = 1.

При b = 1: sinφ = 1, φ = 90°, ∠ ACB = 180° — вырожденный.

Может, задача всё-таки имеет ответ 14? Проверим неравенство треугольника: AB = 7, AC = 6, BC = 1. 6 + 1 = 7 = AB — вырожденный (точки на одной прямой).

Хм. Может, я неправильно вычислил ?

A = (6cosφ, 6sinφ), B = (cosφ, -sinφ) (при b = 1).

.

При sinφ = 1: , AB = 7. ✓

Но cosφ = 0, значит A = (0, 6), B = (0, -1), C = (0, 0) — все на одной прямой. Вырожденный.

Значит, задача не имеет решения при данных условиях? Или я неправильно интерпретирую.

Подождём, перечитаю задачу ещё раз: «Через вершины A и B треугольника ABC проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла ACB и пересекающие прямые BC и AC в точках M и K соответственно».

А что если «соответственно» относится к вершинам? Т.е. прямая через A пересекает AC (свою сторону)... нет, это A.

Или: прямая через A пересекает AC в M... нет, M на BC.

Может: прямая через A ⊥ биссектрисе пересекает прямую AC в точке M? Но прямая через A ⊥ биссектрисе — это вертикальная прямая x = acosφ. Прямая AC проходит через начало координат и A. Пересечение — точка A сама. Значит M = A, что бессмысленно.

Ладно, попробуем ещё одну интерпретацию: прямая через A ⊥ биссектрисе пересекает прямую BC в K, а прямая через B ⊥ биссектрисе пересекает прямую AC в M (т.е. M и K наоборот).

Тогда CM — на прямой AC, . Нет, M на прямой AC...

Если прямая через B ⊥ биссектрисе пересекает AC в M, то M = K из предыдущего, CM = CK = b = CB.

Тогда CM = b = 6, CB = 6.

А BK: прямая через A ⊥ биссектрисе пересекает BC в K (вместо M). Тогда CK = CA = a, K на луче CB с CK = a.

BK = CK - CB = a - 6 (при a > 6) или BK = CB - CK = 6 - a (при a < 6).

Но AC > BC, a > b = 6.

BK = a - 6 = 2, a = 8.

Проверим AB:

Нужно найти sinφ. Из BK:

BK — расстояние от B до K. K на луче CB, CK = a = 8, CB = 6.

.

B = (6cosφ, -6sinφ).

BK = |(8cosφ - 6cosφ, -8sinφ + 6sinφ)| = |(2cosφ, -2sinφ)| = 2.

Это выполняется при любом φ! Значит BK = 2 автоматически при a - b = 2.

Тогда AB тоже должно быть определено:

, , .

Это допустимое значение! φ ≈ 28.7°, ∠ C = 2φ ≈ 57.4° — нормальный треугольник.

Периметр: P = AB + AC + BC = 7 + 8 + 6 = 21 см.

Но подождём — при такой интерпретации M на AC и K на BC, а в условии сказано «пересекающие прямые BC и AC в точках M и K соответственно». Если «соответственно» относится к прямым: первая прямая (через A) пересекает BC в M... нет, тогда это первая интерпретация.

Хм, но может «соответственно» относится к вершинам: через A → пересекает в M, через B → пересекает в K. Но какие прямые пересекает? «Прямые BC и AC» — это две прямые. Каждая из двух проведённых прямых пересекает одну из этих двух прямых.

Наиболее естественное прочтение: прямая через A ⊥ биссектрисе пересекает BC в M; прямая через B ⊥ биссектрисе пересекает AC в K.

Но это даёт вырожденный треугольник. Значит, правильная интерпретация другая.

Попробуем: «пересекающие прямые BC и AC в точках M и K соответственно» — может, это значит, что прямая через A пересекает прямую AC... нет, это бессмысленно.

А может: прямая через A ⊥ биссектрисе пересекает прямую BC в M и прямую AC в самой точке A (тривиально). А прямая через B ⊥ биссектрисе пересекает прямую AC в K и прямую BC в самой точке B. Тогда M и K определены однозначно, как я и делал.

Ладно, попробуем ещё одну интерпретацию. Может, обе прямые (через A и через B) пересекают одну и ту же прямую? Нет, сказано «прямые BC и AC» — две разные.

Или может: прямая через A ⊥ биссектрисе пересекает прямую AC в точке M (отличной от A)? Но прямая через A перпендикулярна биссектрисе, а прямая AC проходит через A. Пересечение — только точка A (если они не совпадают). Они совпадают, только если AC ⊥ биссектрисе, что бывает только при равнобедренном треугольнике (AC = BC), что противоречит AC > BC.

Значит, единственная интерпретация — первая. Но она даёт вырожденный треугольник.

Подождём, может я ошибся и M не обязательно совпадает с образом A при симметрии? Перепроверю.

Перпендикуляр из A к биссектрисе — это прямая через A, перпендикулярная биссектрисе. Биссектриса — ось Ox. Перпендикуляр — вертикальная прямая x = acosφ.

Прямая BC: через C(0,0) и B(bcosφ, -bsinφ). Направление: (cosφ, -sinφ). Параметрически: (tcosφ, -tsinφ).

Пересечение с x = acosφ: tcosφ = acosφ, t = a (при cosφ ≠ 0).

M = (acosφ, -asinφ). CM = a. ✓

Это точно образ A при отражении относительно оси $