User Name N
ГДЗ 7 класс Геометрия Мерзляк, Полонский, Якир Номер 533

Номер / задача 533 страница 134, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: На рисунке 311 $AB = BC$, $AM = KC$, $\angle AKE = \angle FMC$. Докажите, что треугольник $FBE$ равнобедренный. Рис. 311: треугольник $ABC$ с вершиной $B$ вверху, точки $E$ и $F$ на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно, точки $M$ и $K$ на основании $AC$; проведены отрезки $AK$, $AM$, $EK$, $FM$, образующие перекрещивающиеся диагонали внутри треугольника.

Доказательство

Так как AB = BC и AM = KC, то AB - AM = BC - KC, откуда

Рассмотрим треугольники AKE и CMF.

В треугольнике ABC имеем AB = BC, значит, треугольник ABC — равнобедренный, поэтому ∠ A = ∠ C.

Также AM = KC (по условию) и ∠ AKE = ∠ FMC (по условию).

В треугольнике AKE угол AKE — внешний по отношению к... Нет, рассмотрим иначе.

Рассмотрим треугольники AKE и CMF. В них:

  • ∠ A = ∠ C (углы при основании равнобедренного треугольника ABC),
  • ∠ AKE = ∠ FMC (по условию).

Тогда и третьи углы равны: ∠ AEK = ∠ CFM.

Кроме того, из условия AM = KC и AB = BC следует, что AK = CM.

Действительно, AK = AC - KC, а CM = AC - AM. Так как AM = KC, получаем AK = CM.

Итак, в треугольниках AKE и CMF:

  1. ∠ A = ∠ C,
  2. AK = CM,
  3. ∠ AKE = ∠ FMC.

По второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих к ней угла) △ AKE = △ CMF.

Из равенства треугольников следует EK = FM.

Теперь рассмотрим треугольники BKE и BMF. В них:

  • BK = BM (доказано выше),
  • EK = FM (доказано выше),
  • ∠ BKE = ∠ BMF (так как ∠ BKE = 180° - ∠ AKE, ∠ BMF = 180° - ∠ FMC, а ∠ AKE = ∠ FMC по условию).

По первому признаку равенства треугольников (сторона, сторона и угол между... нет, угол ∠ BKE не между сторонами BK и EK).

Применим признак равенства: две стороны и угол, лежащий напротив большей из них... Лучше так:

По первому признаку: в треугольниках BKE и BMF:

  • BK = BM,
  • ∠ BKE = ∠ BMF (доказано),
  • EK = FM.

Это равенство по двум сторонам и углу между ними? Угол ∠ BKE лежит между сторонами BK и EK, а угол ∠ BMF — между сторонами BM и FM. Да, именно так: угол при вершине K лежит между сторонами KE и KB, угол при вершине M — между MF и MB.

По первому признаку равенства треугольников △ BKE = △ BMF.

Следовательно, BE = BF, то есть треугольник FBE — равнобедренный. ◄

Номер 533