Номер / задача 530 страница 133, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90°$, $\angle B = 30°$. Серединный перпендикуляр отрезка $AB$ пересекает его в точке $M$, а отрезок $BC$ — в точке $K$. Докажите, что $MK = \dfrac{1}{3}BC$.

Доказательство

В треугольнике ABC: ∠ C = 90°, ∠ B = 30°, значит ∠ A = 60°.

Точка M — середина AB, а K — точка пересечения серединного перпендикуляра отрезка AB с отрезком BC.

Так как K лежит на серединном перпендикуляре отрезка AB, то KA = KB (свойство серединного перпендикуляра).

Рассмотрим треугольник ABK. Он равнобедренный с KA = KB. Так как ∠ B = 30°, то ∠ KAB = ∠ B = 30°. Тогда:

Поскольку ∠ AKB и ∠ AKC — смежные углы, то:

Рассмотрим треугольник AKC. В нём ∠ C = 90°, ∠ AKC = 60°, значит ∠ KAC = 30°.

Тогда ∠ BAC = ∠ KAB + ∠ KAC = 30° + 30° = 60°, что согласуется с условием. ✓

Теперь найдём отношения сторон. В равнобедренном треугольнике ABK (KA = KB) обозначим KB = t. Тогда в прямоугольном треугольнике BKC (∠ C = 90°, ∠ B = 30°, гипотенуза KB = t, катет BC):

Но удобнее выразить всё через BC. Пусть BC = a.

В прямоугольном треугольнике ABC: ∠ C = 90°, ∠ B = 30°, поэтому катет AC, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы: