Номер / задача 529 страница 133, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Биссектрисы $AM$ и $BK$ равностороннего треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $AO : OM = 2 : 1$.

Доказательство

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC. Так как треугольник равносторонний, все его углы равны 60°.

AM — биссектриса, проведённая из вершины A к стороне BC. Поскольку треугольник равносторонний, биссектриса AM является одновременно и медианой, то есть M — середина BC.

Аналогично, BK — биссектриса из вершины B к стороне AC, и K — середина AC.

Таким образом, AM и BK — медианы треугольника ABC, и точка O — точка их пересечения, то есть центроид (точка пересечения медиан).

Докажем, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины, используя свойства треугольника.

Рассмотрим медиану AM. Точка M — середина BC, точка K — середина AC.

Отрезок MK — средняя линия треугольника ABC, соединяющая середины сторон BC и AC. По свойству средней линии:

Рассмотрим треугольники AOB и MOK. Так как MK ∥ AB, то:

∠ OMK = ∠ OAB (накрест лежащие углы при параллельных прямых MK и AB и секущей AM),
∠ OKM = ∠ OBA (накрест лежащие углы при параллельных прямых MK и AB и секущей BK).

Следовательно, треугольники MOK и AOB подобны (по двум углам).

Коэффициент подобия равен:

Из подобия следует:

Значит:

Номер 529