Номер / задача 528 страница 133, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$ провели высоту $BM$, $BM = 7{,}5$ см, $\angle MBC = 15°$. Найдите боковую сторону треугольника.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC боковые стороны равны: AB = AC.

Высота BM проведена из вершины B на сторону AC (или её продолжение), значит BM ⊥ AC, то есть ∠ BMC = 90°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BMC:

∠ BMC = 90°
∠ MBC = 15°
BM = 7,5 см

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то углы при основании равны: ∠ ABC = ∠ ACB.

Найдём ∠ ACB. В треугольнике BMC:

Значит ∠ ACB = 75°, и ∠ ABC = 75°.

Тогда ∠ BAC = 180° - 75° - 75° = 30°.

Проверим: ∠ ABM = ∠ ABC - ∠ MBC = 75° - 15° = 60°. В треугольнике ABM: ∠ BAM + ∠ ABM + ∠ AMB = 30° + 60° + 90° = 180° ✓

Теперь в прямоугольном треугольнике BMC гипотенуза — BC (лежит против прямого угла ∠ BMC = 90°).

По следствию из теоремы 19.1, перпендикуляр BM меньше наклонной BC, что согласуется с условием.

В прямоугольном треугольнике BMC:

Также в прямоугольном треугольнике ABM:

Ответ: боковая сторона треугольника равна 15 см.

Номер 528