Номер / задача 527 страница 133, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а один из углов — $120°$. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины угла при его основании.

Дано: равнобедренный треугольник ABC, BC = 18 см — основание, один из углов равен 120°.

Найти: высоту, проведённую из вершины угла при основании.

Решение

Так как треугольник равнобедренный с основанием BC, углы при основании равны: ∠ B = ∠ C. Сумма углов треугольника равна 180°.

Угол 120° не может быть углом при основании (иначе сумма двух углов при основании уже 240° > 180°), значит ∠ A = 120°.

Тогда:

Проведём высоту BH из вершины B на сторону AC (или её продолжение). В треугольнике ABH угол H = 90°, значит △ ABH — прямоугольный.

Найдём боковую сторону AB. Проведём высоту AD из вершины A на основание BC. Так как треугольник равнобедренный, D — середина BC, поэтому BD = 9 см.

В прямоугольном треугольнике ABD: ∠ B = 30°, ∠ ADB = 90°, BD = 9 см.

Катет AD, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AB:

По теореме Пифагора:

Теперь найдём высоту BH из вершины B на сторону AC. В прямоугольном треугольнике ABH: ∠ H = 90°, ∠ A = 120° — но это угол треугольника ABC. Высота BH падает на продолжение стороны AC (так как угол A тупой), и в треугольнике ABH:

Тогда:

Ответ: высота равна 9 см.

Номер 527