Номер / задача 514 страница 131, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: На рисунке 306 $AB = CD$, $BC = AD$. Докажите, что $AO = OC$.
Рис. 306: четырёхугольник $ABCD$ с диагоналями, пересекающимися в точке $O$; вершины: $A$ — нижний левый, $B$ — верхний левый, $C$ — верхний правый, $D$ — нижний правый.
Доказательство
Рассмотрим четырёхугольник ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O (рис. 306).
Дано: AB = CD, BC = AD.
Доказать: AO = OC.
Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
Имеем:
- AB = CD (по условию),
- BC = AD (по условию),
- AC — общая сторона.
Следовательно, △ ABC = △ CDA по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).
Из равенства треугольников получаем: ∠ BAC = ∠ DCA.
Теперь рассмотрим треугольники ABO и CDO.
Имеем:
- AB = CD (по условию),
- ∠ BAO = ∠ DCO (доказано выше, так как ∠ BAC = ∠ DCA),
- ∠ AOB = ∠ COD (вертикальные углы).
Следовательно, △ ABO = △ CDO по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
Из равенства треугольников получаем: AO = OC. 
