Номер / задача 513 страница 131, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $BM = BK$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что: 1) треугольник $AOC$ равнобедренный; 2) прямая $BO$ — серединный перпендикуляр отрезка $AC$.

Дано: △ ABC — равнобедренный, AB = BC; точки M ∈ AB, K ∈ BC, BM = BK; отрезки AK и CM пересекаются в точке O.

Доказать: 1) △ AOC — равнобедренный; 2) прямая BO — серединный перпендикуляр отрезка AC.

Доказательство

1) Рассмотрим треугольники ABK и CBM.

Имеем:

AB = CB (боковые стороны равнобедренного треугольника),
BK = BM (по условию),
∠ B — общий.

Значит, △ ABK = △ CBM по двум сторонам и углу между ними (первый признак).

Из равенства треугольников следует: AK = CM.

Также ∠ BAK = ∠ BCM.

Рассмотрим треугольник AOC. В нём:

∠ OAC = ∠ BAK,
∠ OCA = ∠ BCM.

Поскольку ∠ BAK = ∠ BCM, получаем ∠ OAC = ∠ OCA.

Следовательно, треугольник AOC — равнобедренный с OA = OC.

2) Рассмотрим треугольники ABO и CBO.

Имеем:

AB = CB (по условию),
OA = OC (доказано в пункте 1),
BO — общая сторона.

Значит, △ ABO = △ CBO по третьему признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников: ∠ ABO = ∠ CBO, то есть BO — биссектриса угла B.

Поскольку △ ABC равнобедренный (AB = BC), биссектриса из вершины B является также медианой и высотой, проведённой к основанию AC. Значит, прямая BO проходит через середину отрезка AC и перпендикулярна AC.

Следовательно, прямая BO — серединный перпендикуляр отрезка AC.

Номер 513