Номер / задача 509 страница 130, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Высоты $ME$ и $NF$ треугольника $MKN$ пересекаются в точке $O$, $OM = ON$, $MF = KE$. Докажите, что треугольник $MKN$ равносторонний.

Доказательство

Рассмотрим треугольник MKN, в котором ME — высота из вершины M на сторону KN (точка E на KN), NF — высота из вершины N на сторону MK (точка F на MK). Высоты пересекаются в точке O.

Дано: OM = ON, MF = KE.

Докажем, что треугольник MKN равносторонний.

Шаг 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники MOF и NOE.

∠ MFO = 90° (так как NF — высота),
∠ NEO = 90° (так как ME — высота),
OM = ON (по условию).

Углы ∠ MOF и ∠ NOE — вертикальные, значит ∠ MOF = ∠ NOE.

Тогда прямоугольные треугольники MOF и NOE равны по гипотенузе и острому углу (OM = ON, ∠ MOF = ∠ NOE).

Отсюда OF = OE и MF' = NE', то есть ...

Уточним: из равенства треугольников MOF и NOE следует:

Шаг 2. Покажем, что MK = KN.

По условию MF = KE. Из шага 1 имеем FM = EN, то есть MF = NE.

Значит KE = NE, то есть точка E — середина KN.

Но ME — высота треугольника MKN на сторону KN, и она делит KN пополам. Значит треугольник MKN равнобедренный: MK = MN.

Шаг 3. Покажем, что MK = KN.

Поскольку MF = KE и MF = NE (из шага 1), то KE = NE, откуда KN = KE + EN = 2KE.

Также MK = MF + FK. Так как MF = KE, имеем MK = KE + FK.

Из равенства треугольников MOF и NOE (шаг 1) получили OF = OE.

Рассмотрим прямоугольные треугольники OFK и OEK:

∠ OFK = 90°, ∠ OEK = 90°,
OF = OE (из шага 1),
OK — общая сторона (гипотенуза).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету: △ OFK = △ OEK.

Отсюда FK = EK.

Тогда MK = MF + FK = KE + EK = 2KE = KN.

Шаг 4. Итак, MK = MN (из шага 2) и MK = KN (из шага 3).

Следовательно, MK = KN = MN, то есть треугольник MKN — равносторонний.

Номер 509