Номер / задача 508 страница 130, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Высоты $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, $HK = HM$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AM и CK — высоты, пересекающиеся в точке H (рис.). Дано, что HK = HM. Надо доказать, что AB = BC.

Поскольку AM — высота треугольника ABC, то ∠ AMB = 90°. Поскольку CK — высота, то ∠ CKB = 90°.

Рассмотрим прямоугольные треугольники KHB и MHB:

∠ HKB = 90° (так как CK ⊥ AB),
∠ HMB = 90° (так как AM ⊥ BC),
HK = HM (по условию),
HB — общая сторона (гипотенуза в обоих треугольниках).

Следовательно, прямоугольные треугольники KHB и MHB равны по гипотенузе и катету.

Из равенства этих треугольников получаем:

то есть

Но ∠ ABM — это угол B в треугольнике ABM, а ∠ HBK = ∠ KBC — это тот же угол B при вершине B в треугольнике ABC... Уточним: ∠ KBH = ∠ ABH и ∠ MBH = ∠ CBH, поэтому из равенства треугольников:

Это означает, что BH является биссектрисой угла B треугольника ABC.

Далее, из равенства треугольников KHB и MHB также следует KB = MB.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники AKH и CMH:

∠ AKH = 90°, ∠ CMH = 90°,
HK = HM (по условию),
∠ KHA = ∠ MHC (вертикальные углы).

Значит, прямоугольные треугольники AKH и CMH равны по катету и прилежащему острому углу. Отсюда AK = CM.

Тогда в прямоугольных треугольниках AKB и CMB:

∠ AKB = ∠ CMB = 90°,
KB = MB (доказано выше),
AK = CM (доказано выше).

Следовательно, △ AKB = △ CMB по двум катетам, откуда:

Треугольник ABC — равнобедренный.

Номер 508