Номер / задача 507 страница 130, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Доказательство.
Пусть в треугольниках ABC и 
сторона 
, медианы 
проведены к этим сторонам, и высоты 
также проведены к этим сторонам (M и 
— середины BC и 
, а H и 
— основания высот).
Поскольку M — середина BC, а 
— середина 
, и 
, то
Но сначала рассмотрим прямоугольные треугольники AHM и 
.
Имеем: 
(так как AH и 
— высоты). Поскольку M — середина BC, то 
. Аналогично для 
. Заметим, что 
.
Рассмотрим прямоугольные треугольники AHB и 
. В них 
. Также рассмотрим прямоугольные треугольники AHM и 
: в них 
, 
(медианы равны), 
(высоты равны). Значит, прямоугольные треугольники AHM и 
равны по гипотенузе и катету. Отсюда:
Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники AHC и 
. Поскольку M — середина BC, имеем 
, и тогда:
(в зависимости от расположения H). В любом случае, так как 
и 
, получаем 
.
Тогда в прямоугольных треугольниках AHC и 
: 
, 
, 
. По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам:
Аналогично, 
(или BH = BM + HM, в зависимости от случая). Тогда прямоугольные треугольники AHB и 
равны по двум катетам, откуда 
.
Итого: 
, 
, 
, и по третьему признаку равенства треугольников:
