Номер / задача 505 страница 130, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Вершины данного треугольника равноудалены от прямой $MK$. Докажите, что точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно.
Доказательство
Пусть прямая пересекает сторону AB в точке M, а сторону BC в точке K. Опустим перпендикуляры из вершин A, B и C на прямую MK:
, где 
— основание перпендикуляра;
, где 
— основание перпендикуляра;
, где 
— основание перпендикуляра.
По условию вершины равноудалены от прямой MK, то есть 
.
Шаг 1. Докажем, что M — середина AB.
Рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
:
(по построению перпендикуляров);
(по условию равноудалённости);
(вертикальные углы).
Следовательно, 
по катету и противолежащему острому углу. Отсюда AM = BM, то есть M — середина стороны AB.
Шаг 2. Докажем, что K — середина BC.
Рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
:
(по построению перпендикуляров);
(по условию равноудалённости);
(вертикальные углы).
Следовательно, 
по катету и противолежащему острому углу. Отсюда BK = CK, то есть K — середина стороны BC.
Таким образом, точки M и K являются серединами сторон AB и BC соответственно. 
