Номер / задача 504 страница 130, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно в точках $M$ и $K$, являющихся серединами этих сторон. Докажите, что вершины данного треугольника равноудалены от прямой $MK$.
Доказательство
Проведём из вершин A, B и C перпендикуляры на прямую MK: пусть 
, 
, 
(рис.).
Нужно доказать, что 
.
Шаг 1. Докажем, что 
.
Рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
(прямые углы при 
и 
). Имеем:
- MA = MB (так как M — середина AB),
и 
— это углы, которые стороны MA и MB составляют с прямой MK; поскольку эти углы при вершине M являются вертикальными, то 
.
Следовательно, прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда 
.
Шаг 2. Докажем, что 
.
Рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
(прямые углы при 
и 
). Имеем:
- KB = KC (так как K — середина BC),
(вертикальные углы).
Следовательно, прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда 
.
Вывод. Из шагов 1 и 2 получаем:
то есть вершины A, B и C равноудалены от прямой MK. 
