Номер / задача 492 страница 129, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Из точек $A$ и $B$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $a$, опущены перпендикуляры $AM$ и $BK$ на эту прямую, $AM = BK$. Докажите, что $AK = BM$.
Доказательство
Рассмотрим точки A и B, лежащие в одной полуплоскости относительно прямой a, и перпендикуляры AM и BK, опущенные на прямую a, причём AM = BK (рис.).
Поскольку AM ⊥ a и BK ⊥ a, имеем ∠ AMK = 90° и ∠ BKM = 90°.
Рассмотрим прямоугольные треугольники AMK и BKM:
- ∠ AMK = ∠ BKM = 90° (перпендикуляры к прямой a);
- AM = BK (по условию);
- MK — общая сторона.
Сторона MK является гипотенузой в обоих прямоугольных треугольниках (она противолежит прямому углу), а AM и BK — катеты.
Следовательно, △ AMK = △ BKM по гипотенузе и катету.
Из равенства треугольников получаем: AK = BM. 
