Номер / задача 48 страница 21, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть точка X принадлежит прямой EF, EF = 12 см. Рассмотрим три возможных случая расположения точки X на прямой.

• Если точка X — внутренняя точка отрезка EF, то EX + XF = EF = 12 см.
• Если точка X лежит на прямой EF за точкой F (т. е. F — внутренняя точка отрезка EX), то EX + XF = EF + 2 · XF = 12 + 2 · XF > 12 см.
• Если точка X лежит на прямой EF за точкой E (т. е. E — внутренняя точка отрезка XF), то EX + XF = 2 · EX + EF = 2 · EX + 12 > 12 см.

1) Сумма расстояний равна 12 см.

Если X — внутренняя точка отрезка EF, то EX + XF = 12 см. Условие выполняется для любой внутренней точки отрезка EF.

Если X лежит за точкой F, то EX + XF = 12 + 2 · XF > 12 см. Равенство возможно только при XF = 0, т. е. X = F.

Если X лежит за точкой E, то EX + XF = 2 · EX + 12 > 12 см. Равенство возможно только при EX = 0, т. е. X = E.

Ответ: искомые точки — это все точки отрезка EF (включая его концы).

2) Сумма расстояний равна 15 см.

Если X — внутренняя точка отрезка EF, то EX + XF = 12 ≠ 15 см. Такой случай невозможен.

Если X лежит за точкой F, то EX + XF = 12 + 2 · XF = 15, откуда XF = 1,5 см. Такая точка существует.

Если X лежит за точкой E, то EX + XF = 2 · EX + 12 = 15, откуда EX = 1,5 см. Такая точка существует.

Ответ: две точки на прямой EF — точка M такая, что EM = 1,5 см (E между M и F), и точка N такая, что FN = 1,5 см (F между E и N).

3) Сумма расстояний равна 10 см.

Если X — внутренняя точка отрезка EF, то EX + XF = 12 ≠ 10 см. Невозможно.

Если X лежит за точкой F, то EX + XF = 12 + 2 · XF ≥ 12 > 10 см. Невозможно.

Если X лежит за точкой E, то EX + XF = 2 · EX + 12 ≥ 12 > 10 см. Невозможно.

Ответ: таких точек на прямой EF не существует.