Номер / задача 476 страница 124, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство

Отрезок AM — медиана треугольника ABC, значит BM = MC.

Запишем неравенство треугольника для треугольника ABM:

Поскольку BM = MC, имеем:

Но AM + MC — это сумма двух сторон треугольника AMC, а AC — третья сторона этого треугольника.

Теперь рассмотрим треугольник AMC. В нём по неравенству треугольника AC < AM + MC, что выполняется автоматически. Нам нужно сравнить углы ∠ CAM и ∠ BAM.

Рассмотрим треугольники ABM и ACM. У них общая сторона AM и BM = MC.

По условию AB > AC. Применим теорему 17.2 (против большей стороны лежит больший угол) к каждому из треугольников.

В треугольнике ABM сторона AB лежит против угла ∠ AMB.

В треугольнике ACM сторона AC лежит против угла ∠ AMC.

Углы ∠ AMB и ∠ AMC — смежные, поэтому ∠ AMB + ∠ AMC = 180°.

Предположим, что ∠ AMB ≥slant 90°. Тогда ∠ AMC ≤slant 90°.

В треугольнике ABM: ∠ AMB ≥slant 90°, значит ∠ AMB — наибольший угол, следовательно, AB — наибольшая сторона, то есть AB > BM.

В треугольнике ACM: ∠ AMC ≤slant 90°, и нужно аккуратнее.

Воспользуемся другим подходом, аналогичным решению из параграфа.

На луче MA отметим точку K так, что MK = MA (то есть M — середина отрезка AK).

В треугольниках AMB и KMC имеем: AM = KM, BM = CM, ∠ AMB = ∠ KMC (вертикальные углы). Следовательно, △ AMB = △ KMC по первому признаку равенства треугольников.

Тогда AB = KC и ∠ BAM = ∠ MKC.

Поскольку AB > AC, имеем KC > AC.

В треугольнике AKC сторона KC > AC, значит по теореме 17.2 против большей стороны лежит больший угол:

Но ∠ KAC = ∠ CAM (так как K лежит на луче MA по другую сторону от M, и ∠ KAC — это угол CAM).

И ∠ AKC = ∠ MKC = ∠ BAM.

Следовательно: