Номер / задача 473 страница 124, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На прямой $m$ (рис. 295) найдите такую точку $C$, чтобы сумма расстояний от неё до точек $A$ и $B$ была наименьшей. Ответ обоснуйте. Рис. 295: точки $A$ и $B$ расположены выше прямой $m$; точка $A$ — слева, точка $B$ — справа; прямая $m$ наклонная.

Решение

Построим точку A', симметричную точке A относительно прямой m.

Для любой точки C на прямой m имеем AC = A'C (по свойству симметрии относительно прямой). Тогда:

По неравенству о длине ломаной (обобщению неравенства треугольника):

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда точка C лежит на отрезке A'B.

Следовательно, сумма AC + CB принимает наименьшее значение, равное A'B, когда точка C является точкой пересечения прямой m с отрезком A'B.

Построение: опускаем перпендикуляр из точки A на прямую m и на его продолжении откладываем отрезок, равный расстоянию от A до m, получая точку A'. Соединяем A' с B. Точка пересечения отрезка A'B с прямой m и есть искомая точка C.

Ответ: искомая точка C — это точка пересечения прямой m с отрезком A'B, где A' — точка, симметричная A относительно прямой m. При таком выборе AC + CB = A'B, и эта сумма наименьшая, поскольку для любой другой точки C' на прямой m по неравенству треугольника A'C' + C'B > A'B (точки A', C', B не лежат на одной прямой).

Номер 473