Номер / задача 472 страница 124, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Три точки $A$, $B$ и $C$ таковы, что выполняется равенство $AB = AC + CB$. Докажите, что точка $C$ является внутренней точкой отрезка $AB$.

Доказательство

Нам дано, что AB = AC + CB. Надо доказать, что точка C лежит на отрезке AB (между точками A и B).

Допустим противное: точка C не лежит на отрезке AB. Тогда возможны два случая.

Случай 1. Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Тогда они образуют треугольник ABC. По неравенству треугольника (теорема 17.1):

Это противоречит условию AB = AC + CB.

Случай 2. Точки A, B и C лежат на одной прямой, но C не является внутренней точкой отрезка AB. Тогда либо точка A лежит между C и B, либо точка B лежит между A и C.

Если A лежит между C и B, то CB = CA + AB, откуда CB > AB. Но по условию AB = AC + CB ≥slant CB, значит AB ≥slant CB. Противоречие.
Если B лежит между A и C, то AC = AB + BC, откуда AC > AB. Но по условию AB = AC + CB ≥slant AC, значит AB ≥slant AC. Противоречие.

Таким образом, оба случая приводят к противоречию. Следовательно, точка C является внутренней точкой отрезка AB.

Номер 472