Номер / задача 456 страница 120, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Так как ∠ OAC = ∠ OCA, треугольник AOC — равнобедренный, и OA = OC.

Поскольку BM — медиана, точка M — середина AC, то AM = MC.

Рассмотрим треугольники OAM и OCM. Имеем:

1. OA = OC (доказано выше),
2. AM = MC (так как M — середина AC),
3. OM — общая сторона.

По третьему признаку равенства треугольников △ OAM = △ OCM.

Из равенства треугольников следует ∠ OMA = ∠ OMC. Так как эти углы смежные (точка M лежит на AC, а O — по одну сторону от AC... нет, O лежит на медиане BM), уточним: углы ∠ OMA и ∠ OMC — смежные, поскольку точки A, M, C лежат на одной прямой. Тогда ∠ OMA = ∠ OMC = 90°.

Из равенства треугольников также следует ∠ OAM = ∠ OCM.

Теперь рассмотрим треугольники ABM и CBM. Имеем:

1. AM = MC (так как M — середина AC),
2. BM — общая сторона,
3. ∠ BMA = ∠ BMC = 90° (поскольку ∠ OMA = ∠ OMC = 90°, а точка O лежит на луче MB, значит углы BMA и OMA — одни и те же либо смежные/вертикальные; так как O лежит на отрезке BM, луч MO совпадает с лучом MB, поэтому ∠ BMA = ∠ OMA = 90°).

По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) △ ABM = △ CBM.

Следовательно, AB = CB.

Значит, треугольник ABC — равнобедренный.