Номер / задача 457 страница 120, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Рассмотрим выпуклый шестиугольник .

В выпуклом шестиугольнике любые две диагонали, соединяющие «противоположные» пары вершин, пересекаются внутри фигуры. Попробуем построить невыпуклый шестиугольник, в котором все диагонали пересекаются только в вершинах.

Рассмотрим шестиугольник в форме «звезды» или достаточно вытянутый. Построим конкретный пример.

Возьмём шестиугольник с вершинами, расположенными так, чтобы все диагонали, проходящие внутри него, не пересекались между собой (кроме как в вершинах).

Рассмотрим сильно «вогнутый» шестиугольник. Например, возьмём вершины:

, , , , , .

Однако проверим задачу теоретически.

У шестиугольника 6 вершин. Число диагоналей равно . Нужно, чтобы никакие две из 9 диагоналей не пересекались во внутренних точках.

Ответ: да, существует.

Приведём пример. Рассмотрим невыпуклый шестиугольник, у которого все диагонали лежат вне его или пересекаются только в вершинах.

Возьмём невыпуклый шестиугольник, вершины которого чередуются — далеко и близко от центра (звёздчатая форма). В таком шестиугольнике диагонали, соединяющие «дальние» вершины, проходят через центральную область, но при подходящем выборе вершин можно добиться, чтобы они не пересекались внутри шестиугольника (часть диагоналей проходит вне фигуры).

Ответ: да, такой шестиугольник существует. Примером служит невыпуклый (звёздчатый) шестиугольник, в котором диагонали либо лежат вне фигуры, либо пересекаются только в вершинах.