Номер / задача 454 страница 120, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: В треугольнике $ABC$ $AB = 2$ см, $\angle A = 60°$, $\angle B = 70°$. На стороне $AC$ отметили точку $D$ так, что $AD = 1$ см. Найдите углы треугольника $BDC$.

Решение. В треугольнике ABC найдём угол C:

Рассмотрим треугольник ABD. Так как AB = 2 см, AD = 1 см и ∠ A = 60°, покажем, что треугольник ABD — равнобедренный.

Поскольку AD = 1 см , проведём медиану DM треугольника ABD... Но проще рассуждать напрямую.

В треугольнике ABD: ∠ A = 60°, AD = 1 см, AB = 2 см. Построим точку M — середину AB, тогда AM = 1 см = AD. Но D не обязательно совпадает с M.

Рассуждаем иначе. В треугольнике ABD имеем AD = 1, AB = 2, ∠ DAB = 60°. По теореме косинусов найдём BD:

Значит, .

Заметим, что . Проверим соотношение: . Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, ∠ ADB = 90°.

Тогда в треугольнике ABD:

Теперь найдём углы треугольника BDC.

Угол ∠ BDC смежный с углом ∠ ADB:

Угол ∠ DBC:

Угол ∠ BCD — это угол C треугольника ABC:

Проверка: ∠ BDC + ∠ DBC + ∠ BCD = 90° + 40° + 50° = 180°. ✓

Ответ: углы треугольника BDC: ∠ BDC = 90°, ∠ DBC = 40°, ∠ BCD = 50°.

Номер 454