Номер / задача 453 страница 120, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть ∠ A = ∠ C = α (треугольник ABC равнобедренный, AB = BC).

Рассмотрим треугольник ACF. По условию AC = AF, значит, треугольник ACF — равнобедренный, и ∠ ACF = ∠ AFC.

Угол при вершине A треугольника ACF равен α, поэтому:

Рассмотрим треугольник BEF. По условию BE = EF, значит, треугольник BEF — равнобедренный, и ∠ EBF = ∠ EFB.

Угол ∠ B = 180° - 2α, поэтому:

Тогда угол при вершине E:

Рассмотрим треугольник AEF. По условию AF = EF, значит, треугольник AEF — равнобедренный, и ∠ A = ∠ AEF (углы при основании AE... нет, основание — сторона AE, а равные стороны AF = EF). Тогда ∠ FAE = ∠ AEF.

Но ∠ FAE = α (это угол A треугольника ABC, так как точка F лежит на стороне BC, а E — на стороне AB, и ∠ FAE — это часть угла A... нет, ∠ FAE = ∠ A = α, поскольку E лежит на AB, а F — на BC, и луч AE совпадает с лучом AB, луч AF лежит внутри угла A).

Нет, ∠ FAE — это угол между AE (часть AB) и AF. Это не обязательно α.

Обозначим ∠ FAE = β. Тогда в равнобедренном треугольнике AEF (AF = EF):

Углы при точке E на прямой AB: ∠ AEF + ∠ BEF = 180°, значит:

Углы при точке F: ∠ AFC + ∠ AFE + ∠ EFB = 360°. Но точка F лежит на отрезке BC, поэтому ∠ AFC + ∠ AFE + ∠ EFB не подходит. Углы ∠ AFE и ∠ AFC лежат по разные стороны от прямой BC... нет, все точки A и E — по одну сторону.

На прямой BC в точке F: ∠ AFC + ∠ AFE + ∠ EFB = 180° (развёрнутый угол со стороны точки A):

Подставим β = 360° - 4α:

Тогда .